Giải tích là một nhánh của toán học liên quan đến việc nghiên cứu tốc độ thay đổi. Trước khi phép tính được phát minh, tất cả toán học đều tĩnh: Nó chỉ có thể giúp tính toán các vật thể hoàn toàn đứng yên. Nhưng vũ trụ không ngừng vận động và thay đổi. Không có vật thể nào—từ các vì sao trong không gian đến các hạt hạ nguyên tử hoặc tế bào trong cơ thể—luôn đứng yên. Thật vậy, gần như mọi thứ trong vũ trụ đều chuyển động không ngừng. Giải tích đã giúp xác định cách các hạt, sao và vật chất thực sự di chuyển và thay đổi trong thời gian thực.
Giải tích được sử dụng trong vô số lĩnh vực mà bạn thường không nghĩ sẽ sử dụng các khái niệm của nó. Trong số đó có vật lý, kỹ thuật, kinh tế, thống kê và y học. Giải tích cũng được sử dụng trong các lĩnh vực khác nhau như du hành vũ trụ, cũng như xác định cách thuốc tương tác với cơ thể và thậm chí cả cách xây dựng các cấu trúc an toàn hơn. Bạn sẽ hiểu tại sao giải tích lại hữu ích trong nhiều lĩnh vực nếu bạn biết một chút về lịch sử của nó cũng như những gì nó được thiết kế để thực hiện và đo lường.
Takeaways chính: Định lý cơ bản của Calculus
- Giải tích là nghiên cứu về tốc độ thay đổi.
- Gottfried Leibniz và Isaac Newton, nhà toán học thế kỷ 17, cả hai đều phát minh ra phép tính một cách độc lập. Newton đã phát minh ra nó đầu tiên, nhưng Leibniz đã tạo ra các ký hiệu mà các nhà toán học sử dụng ngày nay.
- Có hai loại phép tính: Phép tính vi phân xác định tốc độ thay đổi của một đại lượng, trong khi phép tính tích phân tìm số lượng mà tốc độ thay đổi đã biết.
Giải tích được phát triển vào nửa sau của thế kỷ 17 bởi hai nhà toán học, Gottfried Leibniz và Isaac Newton. Newton lần đầu tiên phát triển phép tính và áp dụng nó trực tiếp để hiểu các hệ thống vật lý. Một cách độc lập, Leibniz đã phát triển các ký hiệu được sử dụng trong giải tích. Nói một cách đơn giản, trong khi toán học cơ bản sử dụng các phép toán như cộng, trừ, nhân và chia (+, -, x và ÷), phép tính giải tích sử dụng các phép toán sử dụng các hàm và tích phân để tính tốc độ thay đổi.
Những công cụ đó cho phép Newton, Leibniz và các nhà toán học khác theo sau tính toán những thứ như độ dốc chính xác của một đường cong tại bất kỳ điểm nào. Câu chuyện Toán học giải thích tầm quan trọng của định lý cơ bản của Newton về phép tính:
“Không giống như hình học tĩnh của người Hy Lạp, giải tích cho phép các nhà toán học và kỹ sư hiểu được chuyển động và thay đổi động trong thế giới đang thay đổi xung quanh chúng ta, chẳng hạn như quỹ đạo của các hành tinh, chuyển động của chất lỏng, v.v.”
Sử dụng phép tính, các nhà khoa học, nhà thiên văn học, nhà vật lý, nhà toán học và nhà hóa học giờ đây có thể lập biểu đồ quỹ đạo của các hành tinh và ngôi sao, cũng như đường đi của các electron và proton ở cấp độ nguyên tử.
Có hai nhánh của giải tích: phép tính vi phân và tích phân. Viện Công nghệ Massachusetts lưu ý: “Tính toán vi phân nghiên cứu phép tính đạo hàm và tích phân… tích phân”. Nhưng còn nhiều điều hơn thế. Phép tính vi phân xác định tốc độ thay đổi của một đại lượng. Nó kiểm tra tốc độ thay đổi của độ dốc và đường cong.
Nhánh này liên quan đến việc nghiên cứu tốc độ thay đổi của các hàm đối với các biến của chúng, đặc biệt là thông qua việc sử dụng các đạo hàm và vi phân. Đạo hàm là hệ số góc của một đường trên đồ thị. Bạn tìm độ dốc của một đường bằng cách tính độ tăng trong quá trình chạy.
Ngược lại, phép tính tích phân tìm cách tìm đại lượng biết tốc độ thay đổi. Nhánh này tập trung vào các khái niệm như hệ số góc của tiếp tuyến và vận tốc. Trong khi phép tính vi phân tập trung vào chính đường cong, thì phép tính tích phân lại liên quan đến không gian hoặc diện tích bên dưới đường cong. Phép tính tích phân được sử dụng để tính tổng kích thước hoặc giá trị, chẳng hạn như độ dài, diện tích và thể tích.
Giải tích đóng một vai trò không thể thiếu trong sự phát triển của ngành hàng hải vào thế kỷ 17 và 18 vì nó cho phép các thủy thủ sử dụng vị trí của mặt trăng để xác định chính xác giờ địa phương. Để lập biểu đồ vị trí của họ trên biển, các nhà hàng hải cần có khả năng đo chính xác cả thời gian và góc độ. Trước sự phát triển của phép tính, hoa tiêu và thuyền trưởng đều không thể làm được.
Giải tích — cả đạo hàm và tích phân — đã giúp nâng cao hiểu biết về khái niệm quan trọng này về đường cong của Trái đất, khoảng cách mà các con tàu phải di chuyển quanh một đường cong để đến một vị trí cụ thể và thậm chí cả sự thẳng hàng của Trái đất, đại dương , và tàu liên quan đến các vì sao.
Giải tích có rất nhiều ứng dụng thiết thực trong cuộc sống. Một số khái niệm sử dụng phép tính bao gồm chuyển động, điện, nhiệt, ánh sáng, sóng hài, âm học và thiên văn học. Giải tích được sử dụng trong địa lý, thị giác máy tính (chẳng hạn như lái xe ô tô tự động), nhiếp ảnh, trí tuệ nhân tạo, người máy, trò chơi điện tử và thậm chí cả phim ảnh. Giải tích cũng được sử dụng để tính tốc độ phân rã phóng xạ trong hóa học, và thậm chí để dự đoán tỷ lệ sinh và tử vong, cũng như trong nghiên cứu về lực hấp dẫn và chuyển động của các hành tinh, dòng chất lỏng, thiết kế tàu, đường cong hình học và kỹ thuật cầu.
Ví dụ, trong vật lý, phép tính được sử dụng để giúp xác định, giải thích và tính toán chuyển động, điện, nhiệt, ánh sáng, sóng hài, âm học, thiên văn học và động lực học. Thuyết tương đối của Einstein dựa trên phép tính, một lĩnh vực toán học cũng giúp các nhà kinh tế dự đoán mức lợi nhuận mà một công ty hoặc ngành có thể tạo ra. Và trong ngành đóng tàu, phép tính đã được sử dụng trong nhiều năm để xác định cả đường cong của thân tàu (dùng phép tính vi phân), cũng như diện tích dưới thân tàu (dùng phép tính tích phân), và thậm chí trong thiết kế chung của tàu .
Ngoài ra, phép tính được sử dụng để kiểm tra câu trả lời cho các ngành toán học khác nhau như thống kê, hình học giải tích và đại số.
Các nhà kinh tế sử dụng phép tính để dự đoán cung, cầu và lợi nhuận tiềm năng tối đa. Xét cho cùng, cung và cầu về cơ bản được biểu thị trên một đường cong – và đường cong luôn thay đổi ở đó.
Các nhà kinh tế sử dụng phép tính để xác định độ co giãn của cầu theo giá. Họ gọi đường cung và cầu luôn thay đổi là “co giãn” và hoạt động của đường cong là “độ co giãn”. Để tính toán một thước đo chính xác về độ co giãn tại một điểm cụ thể trên đường cung hoặc đường cầu, bạn cần suy nghĩ về những thay đổi cực nhỏ về giá và kết quả là kết hợp các dẫn xuất toán học vào công thức độ co giãn của bạn. Giải tích cho phép bạn xác định các điểm cụ thể trên đường cung và cầu luôn thay đổi đó.
“Tóm tắt tính toán.” Viện Công nghệ Massachusetts, ngày 10 tháng 1 năm 2000, Cambridge, MA.